来扯点多项式？

在 luogu 上看到了多项式三角函数 / 反三角函数的板子。

不过还没加进公共题库，没人交，于是不敢交（

于是来口胡一波吧。

三角函数

总之就是求 $\sin F(x)$，$\cos F(x)$，其他的三角函数都可以用这两个凑出来因此不需要单独讨论。

虽然说我们也有 $\cos x=\sin(x+\cfrac{\pi}{2})$，但是问题来了，模意义下怎么表示 $\pi$（

首先我们有欧拉公式

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

于是

$$e^{iF}=\cos F+i\sin F$$

根据定义，$i^{2}\equiv -1\equiv 998244352\pmod{998244353}$。而 $998244352$ 是模 $998244353$ 的二次剩余，说人话就是这样的 $i$ 是存在的。

但是问题来了，我们该怎么分离 $\sin$ 和 $\cos$？

我们还需要有

$$e^{i(-F)}=\cos F-i\sin F$$

很明显地

$$\sin F=\cfrac{e^{iF}-e^{i(-F)}}{2i}$$ $$\cos F=\cfrac{e^{iF}+e^{i(-F)}}{2}$$

反三角函数

求 $\arcsin F(x)$，$\arccos F(x)$。

我们令答案的多项式为 $G(x)$。

我们都知道

$$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$$

于是知道了 $\sin G$ 或者是 $\cos G$，我们就可以推出另一项，然后再根据

$$e^{iG}=\cos G+i\sin G$$ $$G=\cfrac{\ln(\cos G+i\sin G)}{i}$$

就可以算出 $G$ 了。

那么 $\arctan F(x)$？

$$\sin^{2}G+\cos^{2}G=1$$

因为 $\tan G$ 有意义，所以 $\cos G\neq0$。

$$\tan^{2}G+1=\sec^{2}G$$ $$\cos G=\cfrac{1}{\sqrt{\tan^{2}G+1}}$$

但是看着就麻烦（

Updated on 2019-03-18

上面这种做法大概不是正解，因为这样需要对一个常数项不是 $1$，最低次非零系数也不是 $1$ 的多项式求平方根，很明显这需要二次剩余，而且我不会。

考虑倍增。

$$\sin G_{0}-F\equiv 0\pmod{x^{t}}$$ $$\sin G-F\equiv 0\pmod{x^{2t}}$$ $$G\equiv G_{0}-\cfrac{\sin G_{0}-F}{(\sin G_{0}-F)^{\prime}}\equiv G_{0}-\cfrac{\sin G_{0}-F}{\cos G_{0}}\pmod{x^{2t}}$$

然后是 $\arccos$。

$$G\equiv G_{0}-\cfrac{\cos G_{0}-F}{(\cos G_{0}-F)^{\prime}}\equiv G_{0}+\cfrac{\cos G_{0}-F}{\sin G_{0}}\pmod{x^{2t}}$$

然后是 $\arctan$。不过我不怎么会求导 $\tan$（

$$\begin{aligned} (\tan x)^{\prime}&=(\cfrac{\sin x}{\cos x})^{\prime}\\ &=\cfrac{(\sin x)^{\prime}}{\cos x}+\sin x(\cfrac{1}{\cos x})^{\prime}\\ &=1+\tan^{2}x \end{aligned}$$ $$G\equiv G_{0}-\cfrac{\tan G_{0}-F}{(\tan G_{0}-F)^{\prime}}\equiv G_{0}+\cfrac{\tan G_{0}-F}{1+\tan^{2} G_{0}}\pmod{x^{2t}}$$

这大概不能写（

多项式 GCD/LCM

既然多项式能够整除和取模，那么 GCD 和 LCM 一定也是可以算的吧！

……应该可以吧（